定积分求面积是微积分中的一个重要应用，它通常用于求解曲线围成的图形的面积。以下是一个典型的例题，展示了如何使用定积分来求解由曲线和直线围成的区域的面积。
例题：求曲线 y = x^2 和直线 y = 2x 在 x 轴和 y 轴之间围成的区域的面积。
解答：
首先，我们需要找到曲线 y = x^2 和直线 y = 2x 的交点。为此，我们解方程组：
x^2 = 2x
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
得到两个解：x = 0 和 x = 2。
因此，交点为 (0, 0) 和 (2, 4)。
接下来，我们确定被积区间。由于我们要求的是 x 轴和 y 轴之间的区域，所以积分区间为 x 从 0 到 2。
现在，我们可以设置定积分来求解面积：
∫(从0到2) (x^2 - 2x) dx
计算定积分：
= [x^3/3 - x^2] 从0到2
= [(2^3)/3 - 2^2] - [(0^3)/3 - 0^2]
= (8/3 - 4) - (0 - 0)
= 8/3 - 4
= 2.6667 - 4
= -1.3333
因为面积不能是负数，所以我们在计算过程中犯了错误。我们需要重新检查我们的积分表达式。正确的积分表达式应该是：
∫(从0到2) (2x - x^2) dx
计算定积分：
= [x^2 - x^3/3] 从0到2
= [(2^2) - (2^3)/3] - [(0^2) - (0^3)/3]
= (4 - 8/3) - (0 - 0)
= 12/3 - 8/3
= 4/3
所以，曲线 y = x^2 和直线 y = 2x 在 x 轴和 y 轴之间围成的区域的面积是 4/3 平方单位。
这个例题展示了如何使用定积分来求解由曲线和直线围成的区域的面积。在实际应用中，你可能需要解决更复杂的问题，包括多重积分和曲线的近似计算，但基本原理是相同的。
定积分求面积是计算曲线与x轴所夹区域的面积，典型例题可以是求曲线y=f(x)与x轴、直线x=a、x=b所围成的区域的面积。首先，求出曲线与x轴的交点，并设定积分上下限为a和b，然后利用定积分公式∫[a, b] f(x)dx来计算该区域的面积。在计算过程中，需要注意选取合适的积分上下限和正确地确定积分方向，以确保得到正确的面积结果。通过这样的典型例题练习，可以加深对定积分和面积之间的关系的理解，并掌握应用定积分计算面积的方法。
