根号5等于多少(三上数学书最诡异的一页)

根号5等于多少(三上数学书最诡异的一页)

首页维修大全生活更新时间:2022-04-12 06:26:15

对于上一篇我们留下的证明题,问题是作出合适的分割,证明等式√3√5=√15成立。证明如下:

证:作一个确定√3的分割A/B,一切负有理数a3的正有理数归于集合B类。

再作一个确定√5的分割A'/B',一切负有理数a'3的正有理数归于集合B'类。

我们根据有理数乘法,易知,a>0,a∈A,a'>0,a'∈A'时,有(aa')²< (√3√5)²=15,另一

方面又有b∈B,b'∈B'时,(bb')²<(√3√5)²=15,故有aa'<√15<bb',因此知A''={aa'| a∈A,a'∈A'}

与B''={bb'| b∈B,b'∈B'}构成一个新的切割,

这个切割确定了一个实数√15,证毕。

我们知道无理数居然稠密性,但并不具有连续性,也就是说,有理数并不能填满数轴,而是存在无数空隙,下面我们将通过戴德金定理来了解一旦有了无理数的加入,那么这些空隙将会被填补,进而证明了实数具有连续性(完备性)。

实数切割定义:

设有两个非空实数集合A与B,满足条件:A∪B=R且对任意的x∈A与任意的y∈B,有x<y,则称集合A与B构成实数集合R的一个切割,记为A/B。

戴德金定理:

设A/B为实数集R的一个切割,则或者A有最大值,或者B有最大值。

证:设A'是实数集A中所有有理数构成的集合,B'是实数集B中所有有理数构成的集合,则A'/B'构成有理数Q的一个切割,对于有理数色切割,我们由上篇文章知道有三种情况分别是:

①、集合A'中有最大数a',集合B'中无最小数b'。

②、集合A'中无最大数,集合B'中有最小数。

③、集合A'中无最大数,集合B'中无最小数。

对于情况①,我们用反证法,如若在A中存在a>a'(一定要看清A跟A'),这则由有理数的稠密性,在区间(a',a)中必定存在一个有理数c>a',这与a'是A'中是最大值产生矛盾,因此a'是A中最大值。

对于情况②与①类似,易证。

对于情况③,我们知道确定了一个无理数c,c∈R=A/B,那么我们知道要么c在A中,要么C在B中,若c在A中,存在一个数d>c且d∈A,那么根据有理数的稠密性在区间(c,d)中必能找到一个有理数大于无理数c,那么切割A/B就确定一个大于c的数,与A/B确定无理数c矛盾,因此c为A中最大数。证毕。

因此从戴德金定理可以看出,只要在实数中切割A/B,只能是最大值要么在A中,要么在B中,那就不存在有空隙了,因为要是有空隙,那么就会产生两边都没有最值情况,不满足戴德金定理,因此实数具有完备性。

下面我们将介绍确界存在性定理,单调有界收敛定理,闭区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,波尔查诺——魏尔斯特拉斯定理、柯西准等七大定理,用简洁思路去分析这几大定理。

思考一下:能否建立一个确定2∧√3的分割。

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