对于上一篇我们留下的证明题，问题是作出合适的分割，证明等式√3√5=√15成立。证明如下：
证：作一个确定√3的分割A/B，一切负有理数a3的正有理数归于集合B类。
再作一个确定√5的分割A'/B'，一切负有理数a'3的正有理数归于集合B'类。
我们根据有理数乘法，易知，a>0，a∈A，a'>0，a'∈A'时，有(aa')²＜ (√3√5)²=15，另一
方面又有b∈B，b'∈B'时，(bb')²<(√3√5)²=15，故有aa'<√15<bb'，因此知A''={aa'| a∈A，a'∈A'}
与B''={bb'| b∈B，b'∈B'}构成一个新的切割，
这个切割确定了一个实数√15，证毕。
我们知道无理数居然稠密性，但并不具有连续性，也就是说，有理数并不能填满数轴，而是存在无数空隙，下面我们将通过戴德金定理来了解一旦有了无理数的加入，那么这些空隙将会被填补，进而证明了实数具有连续性（完备性）。
实数切割定义：
设有两个非空实数集合A与B，满足条件：A∪B=R且对任意的x∈A与任意的y∈B，有x＜y，则称集合A与B构成实数集合R的一个切割，记为A/B。
戴德金定理：
设A/B为实数集R的一个切割，则或者A有最大值，或者B有最大值。
证：设A'是实数集A中所有有理数构成的集合，B'是实数集B中所有有理数构成的集合，则A'/B'构成有理数Q的一个切割，对于有理数色切割，我们由上篇文章知道有三种情况分别是：
①、集合A'中有最大数a'，集合B'中无最小数b'。
②、集合A'中无最大数，集合B'中有最小数。
③、集合A'中无最大数，集合B'中无最小数。
对于情况①，我们用反证法，如若在A中存在a>a'（一定要看清A跟A'），这则由有理数的稠密性，在区间(a'，a)中必定存在一个有理数c>a'，这与a'是A'中是最大值产生矛盾，因此a'是A中最大值。
对于情况②与①类似，易证。
对于情况③，我们知道确定了一个无理数c，c∈R=A/B，那么我们知道要么c在A中，要么C在B中，若c在A中，存在一个数d>c且d∈A，那么根据有理数的稠密性在区间(c，d)中必能找到一个有理数大于无理数c，那么切割A/B就确定一个大于c的数，与A/B确定无理数c矛盾，因此c为A中最大数。证毕。
因此从戴德金定理可以看出，只要在实数中切割A/B，只能是最大值要么在A中，要么在B中，那就不存在有空隙了，因为要是有空隙，那么就会产生两边都没有最值情况，不满足戴德金定理，因此实数具有完备性。
下面我们将介绍确界存在性定理，单调有界收敛定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，波尔查诺——魏尔斯特拉斯定理、柯西准等七大定理，用简洁思路去分析这几大定理。
思考一下：能否建立一个确定2∧√3的分割。
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