一、电源的最大输出功率
在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率与外电阻R的关系是：
由此式可以看出，当外电阻等于内电阻（即R＝r）时，电源输出功率最大，最大输出功率为Pm＝E²/4r
电源的输出功率P出与外电阻R的关系可以用P出一R图象表示，如图所示.
由图象可知，对应于电源的非最大输出功率P可以有不同的外电阻R₁和R₂，且.R₁R₂＝r².由图象还可以看出，当R＜r时，若R增大，则P出增大；当R＞r时，若R增大，则P出减小.
注意:
1.推导此关系式时，R是可变电阻，r是定值电阻。当外电阻等于内电阻，即R=r时，电源输出功率最大，最大输出功率为Pm=E²/4r，若R与r不相等，则R值越接近r的值，P出越大，此时需要注意R的区间范围。
2.电源的输出功率与电源的效率是完全不同的物理量。
电源的效率
所以当R增大时，效率η提高，当R=r时，电源有最大输出功率，但效率仅为 50％，效率并不高.
3.R₁R₂=r²的推导:由图像知对同一个电源而言当外电阻取两不同阻值时，电源的输出功率却是相同的。当外电阻分别取R₁和R₂时，据I₁²R₁＝I₂²R₂，可得
可得到
二、电源的外特性曲线
如图所示，
在电源的外特性曲线上某点纵坐标和横坐标值的乘积为电源的输出功率，图中阴影矩形的面积表示电源的输出功率，当U＝E/ 2时，电源输出功率最大.
三、P总、P内、P出随电流变化情况
例题：如图所示，
电源的电动势E＝2V，内阻r＝1Ω，定值电阻R₀＝2Ω，变阻器R的阻值变化范围为0～10Ω，求：
（1）变阻器R的阻值为多大时，R₀消耗的功率最大？
（2）变阻器R的阻值为多大时，R上消耗的功率最大？是多少？
（3）变阻器R的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？
例题：如下图所示，
电源电动势为E＝6V，内阻为r＝2Ω，外电路接一滑动变阻器R和一定值电阻R₀＝0.5Ω，求：
（1）滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。
（2）定值电阻的功率最大的条件及其最大值。
（3）电源内阻消耗的功率最大的条件及其最大值。
（4）电源输出功率最大的条件及其最大值。
【解析】
（1）
方法一：滑动变阻器的电功率表达式为：
当R=R₀ r时，即R=2.5Ω，P最大。
方法二：把R₀移入电源（等效电源法），当作电源内阻，R的功率即电源的输出功率。由图像可知当R=R₀ r时，即R=2.5Ω，P最大。
(2)定值电阻的功率的表达式为：
R是自变量，当R最小时，P最大。
【提示】(1)、(2)两问的表达式样式一样，但是意义完全不同。
【疑问】能不能把R移入电源当电源的内阻呢？
例题：现有四个电源，电动势均为3V，内阻分别为r₁＝0.5Ω、r₂＝1Ω、r₃＝3Ω、r₄＝4Ω。分别让这四个电源给R＝20的电阻供电，则使R上消耗功率最大的电源的内阻为（）
A.r₁
B.r₂
C.r₃
D.r₄
电源最大输出功率的条件.“当R＝r时电源的输出功率最大”是对某个确定（E，r）的电源而言的，对不同的电源，其最大输出功率Pmax＝E²/4r是不同的.两者不能混为一谈.
例题：在图甲所示
电路中，R₁、R₂均为定值电阻，且R₁＝100，R₂的阻值未知，R₃是一滑动变阻器，在其滑片从最左端滑至最右端的过程中，测得电源的路端电压随电流I的变化图线如图乙所示.其中图线上的A、B两点是滑片在变阻器的两个不同端点时分别得到的.求：
（1）电源的电动势和内阻；
（2）定值电阻R₂的阻值；
（3）滑动变阻器R₃的最大值；
（4）上述过程中R₁上得到的最大功率以及电源的最大输出功率.
例题：如图所示，
M为一电动机，电源电动势为E，内阻为r，电动机的内阻为零，现用电动机吊起质量为
m的静止重物，试求重物上升的最速度Vm（一切阻力不计）
【解析】把电源和电动机视为一研究电路，电源的输出功率等于电动机（无内耗）的输出功率，V为最大时，电动机的输出功率P出＝mgV最大，此时电源输出功率也最火大，所以mgVm=E²/4r解得Vm＝E²/4mgr.
例题：如图所示电路中，
R₁＝9Ω，R₂＝7.2Ω，并且已知在电键S断开和闭合两种情况下，电源输出的功率相同。
（1）说明S闭合后各电表示数的变化情况；
（2）求电源的内电阻r；
（3）求电键S断开与合上时R₁上消耗的功率之比。
【答案】（1）V减小；A增大；A₁减小；（2）6Ω；（3）9：4
例题：如图所示，
电源电动势E＝12V，内阻r＝3Ω，R₀＝1Ω，直流电动机内阻R₀′＝1Ω，当调节滑动变阻器R₁时可使甲电路输出功率最大，调节R₂时可使乙电路输出功率最大，且此时电动机刚好正常工作（额定输出功率为P₀＝2W），则R₁和R₂的值分别为（）
A.2Ω，2Ω
B.2Ω，1.5Ω
C.1.5Ω，1.5Ω
D.1.5Ω，2Ω
审题关键（1）甲图中电源输出功率最大时内外电阻是否相等？
（2）乙图中电源输出功率最大时内外电路中电阻是否相等？
