正五边形内角度数(正六边形的内角度数)

正五边形内角度数(正六边形的内角度数)

首页维修大全生活更新时间:2022-05-04 14:46:48
一、多边形及相关概念

1. 多边形内角和为(n-2)180º

证明:

上图n边形,在中心找一点,连接中心和各个顶点,把五边形分成五n个三角形,求多边形的内角和转化为求三角形内角和问题。

n边形内角和=(180º-∠1) (180º-∠2) (180º-∠3) (180º-∠4) (180º-∠5) …..(180º-∠n)

=n*180º-(∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n)

=n*180º-360º

=180º(n-2)

2. 多边形的外角和为360º

证明:

因为:

180º-∠1 180º-∠2 180º-∠3 180º-∠4 180º-∠5 ……180º-∠n=(n-2)*180º

n*180º-(∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n)=(n-2)180º

n边形的外角和=∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n

所以 :

n*180-n边形的外角和=(n-2)180º

n边形的外角和= n*180º-(n-2)180º-=n*180º- n*180º 360º =360º

3. 多边形的对角线

(1) 对角线定义

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线

(2) n边形的一个顶点可以引出n-3条对角线,这些对角线可将n边形分成n-2个三角形

证明:

n边形共有n个顶点,因此剩余n-1个顶点,根据对对角线的定义,有两个顶点与这个顶点相邻,因此剩余顶点个数为(n-1)-2=n-3,从某一顶点只能向n-3个点引出n-3条对角线。

(1) n边形共有n(n-3)/2条对角线

证明:

根据(2)的结论,n边形每一个顶点有n-3条对角线,那么n边形共有n(n-3)条对角线,因为每一条对角线重复的计算了两次,因此对角线数为n(n-3)/2

4. 正多边形

(1) 定义

在同以平面内各内角都相等,各边也相等的多边形叫做正多边形

(2) 正五边形

1) 正五边形每个内角为3*180º/5=108º

2) 外角为:360º/5=72º

或者:180º-108º=72º

3) 共有n(n-3)/2=5(5-3)/2=5条对角线

(3) 正六边形

1) 正六边形每个内角为4*180º/6=120º

正六边形外对角线的交点是外接圆的圆心,把正六边形分成六个等边三角形

2) 外角为:360º/6=60º

或者:180º-120º=60º

3) 共有n(n-3)/2=6(6-3)/2=9条对角线

二、基础题型

1. 例题1

正六边形的边长为3,较长的一条对角线长为?

根据上面正六边形的性质可知,较长的一条对角线为6

2. 考察知识点:

(1) 等边三角形及内角为60º

(2) 正六边形

(3) 多边形的对角线

3. 解题思路和技巧

利用正六边形的特点以及对角线的知识即可

三、综合题型

1. 求解过程

1) 解①:

因为;

正五边形每个内角大小为108º

AE=AB, AE=ED

所以:∠ABE=∠EAD=36º

因为:

∠BAD=∠EAB-∠EAD=108º-36º=72º

∠AME=∠ABE ∠BAD

所以:

∠AME=36º 72º=108º

所以①结论正确

2) 解②:

因为:

∠AEM=∠AED=108º

∠EAM=∠EAD=36º

所以:

ΔAME∽ΔAED

所以有:

AE/AD=AM/AE

又因为:

∠AED=108º

∠AEB=∠DEC=36º

∠AEN=∠AED-∠DEC=108º-36º=72º

∠AEN=72º

又因为

∠DNE=∠AME=108º

所以:

∠ANE=180º-∠DNE=180º-108º=72º

所以有:

∠AEN=∠ANE

AN=AE

因为:AE/AD=AM/AE AN=AE

所以:AN/AD=AM/AN

因此结论②正确

(1) 考察知识点

1) 正多边形

2) 等腰三角形

3) 直角三角形及勾股定理

4) 三角形全等

5) 三角形相似

(2) 解题思路和技巧

①,利用正多边形的内角和、等腰三角形,三角形的一个外角和等于不相邻的两个内角和

②,根据公式AN/AD=AM/AN得出与AM和AD有关,找出ΔAME∽ΔAED,然后再找出AE=AN即可,利用角度关系很容易找出AE=AN

③,充分利用②的条件,根据公式AN/AD=AM/AN,列出方程就可以解决问题

④,利用全等、等腰三角形求出ΔEBC的高,就求出了他的面积。

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