定积分中值定理的例题:
假设函数f(x)在区间[a, b]上连续,且存在一个常数c满足a ≤ c ≤ b,使得f(c) = ∫(a→b) f(x) dx / (b - a)。
证明:
第一步,根据定积分的性质,我们知道∫(a→b) f(x) dx = F(b) - F(a),其中F(x)是f(x)的一个原函数。
第二步,根据拉格朗日中值定理,存在一个常数ξ满足a ≤ ξ ≤ b,使得f'(ξ) = (F(b) - F(a)) / (b - a)。
第三步,根据导数的定义,我们知道f'(c) = lim (h → 0) (f(c + h) - f(c)) / h = f(ξ),其中c + h = ξ。
第四步,结合第二步和第三步的结论,我们可以得到f'(c) = f(ξ) = f(c),即f'(c) = f(c)。
综上所述,我们证明了定积分中值定理的例题。