变限函数求导公式的证明可以通过极限的定义和导数的定义进行推导。首先，我们可以将变限函数表示为一个定积分的形式，然后利用定积分的性质和极限的定义，将求导转化为极限的形式。通过对极限的展开和化简，最终可以得到变限函数求导的公式。这个证明过程需要运用到数学分析中的一些基本概念和定理，需要一定的数学推导和推理能力。
任取x∈[a,b]x∈[a,b]，改变量△x△x满足x+△x∈[a,b]x+△x∈[a,b]，对应的改变量△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)满足：
△Φ===Φ(x+△x)−Φ(x)∫x+△xaf(t)dt−∫xaf(t)dt∫x+△xxf(t)dt(1)(2)(3)
(1)△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)(2)=∫ax+△xf(t)dt−∫axf(t)dt(3)=∫xx+△xf(t)dt
由积分中值定理：
s.t.∴f(ξ)∃ξ∈[x,x+△x]⊂[a,b]→∫x+△xxf(t)dt=f(ξ)⋅△x=∫x+△xxf(t)dt△x(4)(5)(6)
(4)∃ξ∈[x,x+△x]⊂[a,b](5)s.t.→∫xx+△xf(t)dt=f(ξ)⋅△x(6)∴f(ξ)=∫xx+△xf(t)dt△x
因为f(x)f(x)在[a,b][a,b]上连续，所以：
lim△x→0f(ξ)=f(x)
lim△x→0f(ξ)=f(x)
即:
f(x)=lim△x→0∫x+△xxf(t)dt△x=ddx(∫xaf(t)dt)
