为什么单调递增的数列极限就是上确界

先证明极限为其上界。

用归谬法

假设数列{an}的极限A不为数列上界，

那么存在一个正整数N0满足a(N0)>A，

取正数epsilon=a(N0)-A

根据数列的单调递增关系，其后的每一项都大于a(N0)，因此之后每一项都游离于邻域U(A，epsilon)之外，这与极限的定义不符。

因此不存在这样的N0

那么A就是数列的一个上界

再根据极限的定义，变形，可以进而证得A=sup{an}

设A为数列{An}的上确界，那么由上确界定义可知，对任意ε>0，存在AN属于（A-ε，A]，由于数列是单调递增的，故任意n>N，满足A-ε<AN≤An≤A，因此|An-A|<ε，证毕。