为什么单调递增的数列极限就是上确界

为什么单调递增的数列极限就是上确界

首页维修大全综合更新时间:2023-12-12 20:00:56

为什么单调递增的数列极限就是上确界

先证明极限为其上界。

用归谬法

假设数列{an}的极限A不为数列上界,

那么存在一个正整数N0满足a(N0)>A,

取正数epsilon=a(N0)-A

根据数列的单调递增关系,其后的每一项都大于a(N0),因此之后每一项都游离于邻域U(A,epsilon)之外,这与极限的定义不符。

因此不存在这样的N0

那么A就是数列的一个上界

再根据极限的定义,变形,可以进而证得A=sup{an}

设A为数列{An}的上确界,那么由上确界定义可知,对任意ε>0,存在AN属于(A-ε,A],由于数列是单调递增的,故任意n>N,满足A-ε<AN≤An≤A,因此|An-A|<ε,证毕。

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