方程求解中的难题 方程论是古典代数的中心课题。早在公元3世纪的希腊数学家丢番图和9世纪的阿里・花拉子米，均求得一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 到了16世纪，意大利数学家卡丹和他的学生费拉里相继发表了用根式求解三次方程和四次方程的方法。这个被后来数学界称为卡丹公式的三次方程求解公式，实际是公元1500年左右波仑亚的数学家非尔洛最先研究出的，后来几经转折被塔塔利亚掌握，卡丹保证保密后，塔塔利亚告诉给卡丹，但6年后，卡丹给出证明发表了。 由于不超过四次的方程都能通过根式求得它的一般解，那么高于四次的方程能否用根式求解，便成为人们关注的重大问题。很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。从16世纪后半叶直到19世纪初，许多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外的都失败了。 根式解法虽然没有找到，但人们却积累了经验和知识。1799年，年仅22岁的高斯在作博士论文时，他没有去计算方程的根，而是证明它的存在性。他把方程与曲线联系起来，通过对曲线作定性研究，证明了每一个实系数多项式至少有一个实根或一个复根，这个结论被称为代数学基本定理。高斯的方法开创了探讨数学中整个存在问题的新途径。 接着，他研究了分圆方程，于1801年证明了这种方程可用根式求解，这表明某些高于四次的方程能用根式解出。那么，可用根式求解的是所有的高次方程，还是部分高次方程？这便成为摆在数学家面前的一个难题。阿贝尔的成果轰动了世界 就在高斯证明了代数学基本定理3年后的1802年，又一数学新星阿贝尔在挪威的芬诺诞生了。阿贝尔有着较优裕的家庭，更幸运的是，他在中学时代遇上了一位杰出的教师霍姆伯。霍姆伯是挪威天文学家汉斯顿的助教，他使阿贝尔第一次感受了数学的意义和乐趣。霍姆伯也看到了阿贝尔不寻常的才能，给他找来欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等大师们的原著，一起讨论疑难问题，使阿贝尔迅速了解当代数学的前沿课题。 阿贝尔在中学的最后一年，就开始了对五次方程的研究。起初他还是致力于寻求一般五次方程的解法，后来受丹麦著名数学家戴根的启发，他意识到一般五次方程可能根本就不存在类似于二、三、四次方程那样的求根公式。他想，如果这类求根公式存在，就该有无穷多个，这显然不可能。要么这些公式最终被统一起来，要么从某次方程起就不存在求根公式。既然寻找求根公式已屡遭失败，何不考虑五次方程没有根式解呢？经过5年的努力，1824年，22岁的阿贝尔证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的（除了某些特殊的方程）。 阿贝尔的成果轰动了世界，因为他解决了困扰数学界300年的难题。留下的问题是，能用根式解或不能用根式解的方程，到底用什么来判断？阿贝尔还没有来得及解决这一问题，1829年，过度劳累导致他的肺病再次发作，不到27岁的阿贝尔就匆匆离开了人世。 阿贝尔 伽罗瓦伽罗瓦理论的诞生 阿贝尔未竟的事业，由一位比阿贝尔小9岁的极富传奇色彩的法国青年伽罗瓦担当起来。 伽罗瓦于1811年10月26日生于巴黎附近的雷因堡，父亲是镇长，母亲是一个法官的女儿，受过正统教育。中学时代，数学教师范涅尔的出色讲授唤起伽罗瓦对数学的兴趣。他自学了勒让德、拉格朗日、柯西等名师的著作，对前辈大师们的工作有了一定的了解，从16岁起，就致力于高次方程根式解法的研究。 对数学的迷恋和自信，伽罗瓦报考巴黎理工大学，但是两次都没考上。1829年，他考入巴黎师范大学。 他只上了一年大学，但这一年却是他在数学研究中最有成就的一年。他相信，方程是否有根式解与方程根的排列的性质有内在联系。他首先考虑一个n次方程的n个根x1，x2，…，xn所有可能的排列，由根经过有限次四则运算所得到的一切数的集合，再考虑方程的系数经过有限次四则运算所得到的一切数的集合，然后来研究这两个集合之间的某种对应关系，产生了一个“群”的概念，并得出结论：方程有根式解的充分必要条件是它的群为可解群。二、三、四次方程的群是可解群，因此这些方程能用根式求解，高于四次的一般方程的群不是可解群，因而它们不能用根式求解。 伽罗瓦的这一理论，是极富创新性的伟大发现。1829年，他把自己的论文送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院，可是负责审稿的大数学家柯西根本不重视这件事，把伽罗瓦的论文给弄丢了。1830年，伽罗瓦又重写了一篇论文，该文送到著名数学家付立叶那里，可是62岁的付立叶，就在那年离开了人世，这篇论文又杳无音信。科学院院士泊松劝他再写一份。1831年，伽罗瓦把重写的论文《关于用根式解方程的可能性条件》，第三次交给法国科学院。热心的泊松亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月可怎么也看不懂，只好签署“完全不能理解”的审查意见，退回文稿并建议他把论文写得通俗详尽一些。 此时，法国爆发了“七月革命”。生气勃勃的伽罗瓦是个激进的共和主义者，他积极参加了对路易――菲力蒲王朝的斗争，学校因此开除了他。伽罗瓦被学校开除后，以给人补习数学为业，但他仍坚持革命斗争，先后两次被捕入狱。不久，1832年5月31日，在与一个反动军官决斗时饮弹身亡。一个不满21岁的天才数学家，像一闪而过的明星殒落了。近世代数学的确立 决斗前夕，伽罗瓦赶写了份说明研究工作的信件，托朋友把文稿交给两位大数学家，信中说：“你可以公开要求雅可比或高斯对于这些定理的重要性（而不是对其真实性）表示意见。在这之后，我相信将会有人发现把它们注释出来是有益的。”可这些资料在当时并没有交给这两位数学家。 在伽罗瓦逝世后14年的1846年，法国数学家刘维尔在自己主办的数学杂志上才刊登了伽罗瓦的部分手稿。从此，伽罗瓦的思想才逐渐引起人们的注意和理解。不长的论文中，从很简单而又极深刻的想法出发，解开了许多著名数学家为之毫无成效地奋斗过的、关于用根式解高次方程的困难的症结。首次在严格意义上使用超越同时代的“群”这个概念，为19世纪数学提出了全新的数学概念。为纪念他，人们把伽罗瓦发现的这个“群”称作“伽罗瓦群”。此后，数学家投入了这个全新的领域，开始注释、追踪、研究和发展伽罗瓦所开创的工作，使群论系统化。 到19世纪末叶，群、环、域的理论大步迈进，伽罗瓦所开创的数学工作，逐渐形成了数学的一个重要分支――近世代数学，又叫抽象代数学，使传统代数学的研究对象发生了很大的变化，抽象代数已经成了近世代数学的主要内容。 伽罗瓦理论，是近世代数学的伟大成就，并且在几何学、物理学、化学等许多科学技术领域有广泛的应用。它的附产品是给出了尺规作图不能解决问题的判别法。伽罗瓦理论，对于近世代数学的发展产生了十分深远的影响。
