要求导数切线方程与直线平行，需要满足两个条件：导数和直线斜率相同，而且导数切点和直线某点重合。
首先求出导数函数，令其等于直线斜率，解出对应的自变量值，然后将这个自变量代入原函数得到导数切点的纵坐标，再代入直线方程求出对应的横坐标，这样就求出了导数切点和直线某点的坐标。
最后使用点斜式或一般式求出平行于直线的切线方程即可。
求切线方程这种题目有不同的形式,而且切线的数量可能不只一条
有的题目给了切点,求在该处的切线方程
有得题目给了另外一条直线方程,求平行于或垂直于该直线的切线方程
有的题目没有给切点,但给了一个不在曲线方程上的坐标,求经过该坐标,且与曲线相切的方程
就给三个题型例子吧.
例子1：求曲线y = x² - 2x在(-1,3)处的切线方程.
题目说出了在(-1,3)「处」的,表示该坐标必定在曲线上
y = x² - 2x
y' = 2x - 2
切线斜率= y'(x=-1) = 2(-1) - 2 = -4
所以切线方程为y - 3 = -4(x + 1)
即4x + y + 1 = 0
所以答案是4x + y + 1 = 0.
例子2：求与曲线y = x³ - 2x² + 1相切,且平行于直线L：4x - y - 5 = 0的切线方程.
先设切点为Q(a,b)
y = x³ - 2x² + 1
y' = 3x² - 4x
由于切线平行于直线L,所以
y'(x=a) = L的斜率
3a² - 4a = - (4)/(-1) = 4
3a² - 4a - 4 = 0
(3a + 2)(a - 2) = 0
a = -2/3 或 a = 2,代回曲线方程中,得
b = -5/27 或 b = 1
在(-2/3,-5/27)处的切线方程为y + 5/27 = 4(x + 2/3),即108x - 27y + 67 = 0
在(2,1)处的切线方程为y - 1 = 4(x - 2),即4x - y - 7 = 0
所以答案是108x - 27y + 67 = 0和4x - y - 7 = 0.
例子3：求经过点(3,1),且与曲线y = x² - 3x + 2相切的切线方程.
将点(3,1)代入方程中,可知该点不在曲线方程中
先设切点P(a,b)
因为P在曲线上,所以b = a² - 3a + 2 ...(1)
y = x² - 3x + 2
y' = 2x - 3
在P处的切线斜率= y'(x=a) = 2a - 3
而连接点(3,1)和切点P(a,b)的切线方程的斜率为(b - 1)/(a - 3)
所以2a - 3 = (b - 1)/(a - 3)
(2a - 3)(a - 3) = b - 1
b = 2a² - 9a + 10 ...(2)
现在联立(1)(2)式{b = a² - 3a + 2 ...(1)
{b = 2a² - 9a + 10 ...(2)
将(1)代入(2)：a² - 3a + 2 = 2a² - 9a + 10
a² - 6a + 8 = 0
(a - 2)(a - 4) = 0
a = 2 或 a = 4,代回(1)得
b = 0 或 b = 6
在(2,4)处的切线方程的斜率为2(2) - 3 = 1
切线方程为y - 0 = x - 2
即x - y - 2 = 0
在(0,6)处的切线方程的斜率为2(4) - 3 = 5
切线方程为y - 6 = 5(x - 4)
即5x - y - 14 = 0
所以答案是x - y - 2 = 0和5x - y - 14 = 0.
