等差数列的性质：m+n=p+q等价于am+an=ap+aq。推导是用等差数列的通项公式，分别带入四项am,an,ap,aq，然后求和计算即可以得到等式成立。
等差数列的一般形式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$是第$n$项，$a_1$是首项，$d$是公差。要推导等差数列的性质，需要利用这个公式和数列求和公式$sumlimits_{i=1}^na_i = dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$。
1. 求和公式
将等差数列的一般形式带入数列求和公式，得到：
$$sumlimits_{i=1}^na_i = dfrac{n(a_1 + a_1 + (n-1)d)}{2} = dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$$
化简可得：
$$sumlimits_{i=1}^na_i = dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$
2. 通项公式
对于一个等差数列$a_1, a_2, ..., a_n$，设其公差为$d$，则有：
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
将$n$改写为$m+1$，得到：
$$a_{m+1} = a_1 + (m+1-1)d = a_1 + md + d$$
其中，$md$即是$a_m$，可以得到：
$$a_{m+1} = a_m + d$$
即等差数列的通项公式为：
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
3. 前$n$项和
将等差数列的通项公式带入求和公式中，得到前$n$项和：
$$egin{aligned}sumlimits_{i=1}^na_i &= sumlimits_{i=1}^n(a_1 + (i-1)d)\& = na_1 + dsumlimits_{i=1}^ni - dsumlimits_{i=1}^n1\& = na_1 + ddfrac{n(n+1)}{2} - dn\& = dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)end{aligned}$$
4. 项数
通过通项公式可知，第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$，解出$n$即可得到项数，即：
$$n = dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$$
通过项数公式，我们可以知道在已知首项、公差和某一项的情况下，求出等差数列的项数。请问您需要什么继续的内容？
