欧拉公式
1752年欧拉证明的定理
在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其 为 Descartes定理。R+ V- E= 2就是欧拉公式。
基本信息
中文名
欧拉公式
外文
Eulers formul
别名
欧拉
证明
用数学归
( 1)当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。
( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。
由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点，则 该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：
①减少一个区域和一条边界；
②减少一个区 域、一个顶点和两条边界；
③减少一个区域、两个顶点和三条边界；
即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了，在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。
因此，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。 .
柯西的证明
第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下：
从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)
重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）的额外变换。
若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。
除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。
（逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。
重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形（把外部数在内），。所以。
推理证明
设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的。因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.
考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.
添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.
以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如
增添两个面后，有关系E=V+2;
增添三个面后，有关系E=V+3;
……
增添(F-2)个面后，有关系E=V+ (F-2).
最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加。因此，关系式仍为E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
这个公式叫做欧拉公式。它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。
分式
当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。
