要用向量法证明三角形重心定理，可以按照以下步骤进行：
设三角形的顶点分别为 A、B、C，对应的向量为 a、b、c。重心 G 可以表示为顶点向量的平均值，即 G = (a + b + c) / 3。
步骤如下：
1. 计算重心 G 的坐标表示。将向量 a、b、c 分别表示为坐标形式，例如 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，c = (x3, y3)。然后计算重心 G 的坐标表示 G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3)。
2. 证明向量 G 到三角形的每个顶点的向量和为零。计算向量 GA、GB、GC，并证明 GA + GB + GC = 0。即证明 (a - G) + (b - G) + (c - G) = 0。
(a - G) + (b - G) + (c - G) = (a + b + c) - 3G = 0
因为 G = (a + b + c) / 3，所以 (a + b + c) - 3G = 0。
3. 由于向量 G 到三角形的每个顶点的向量和为零，根据向量的平行四边形法则，可以得出结论：重心 G 是三角形的重心。
这样，通过向量法证明了三角形重心定理。
请注意，这只是一种证明方法，还有其他方法可以证明三角形重心定理。
向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.则1-x= y/2， x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD,即BO：OF=CO：OD=2。
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,从而向量AO=2/3向量AE,即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线，且有AO：OE=2.
