求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。
根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分。
积分基本公式
1、∫0dx=c
2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3、∫1/xdx=lnx+c
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5、∫e^xdx=e^x+c
6、∫sinxdx=-cosx+c
7、∫cosxdx=sinx+c
8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
对于一个有理函数多项式，我们可以通过以下步骤来求解其不定积分：
1. 将多项式拆分为基本项和真分数之和的形式。基本项是指分子和分母都是一次的项，而真分数是指分子小于分母的分数。
2. 对每个基本项求不定积分。对于一个基本项，我们可以使用不定积分的基本公式来求解。例如，对于形如 ax^n 的基本项，其不定积分是 x^(n+1)/(n+1) + C，其中 a 是常数，n 是正整数，C 是积分常数。
3. 对于真分数，我们需要先将其转换为假分数，再按照基本项的方法进行求解。例如，对于形如 x^n/n 的真分数，我们可以将其转换为 x^(n+1)/(n+1) + x^n/n - 1 的形式，其中 n 是正整数。
4. 将所有不定积分的结果相加，得到最终的不定积分结果。
下面我们通过一个具体的例子来说明如何求解有理函数多项式的不定积分。假设我们要求解函数 f(x) = x^3/3 + 2x^2/3 + x/2 的不定积分。
首先，我们将 f(x) 拆分为基本项和真分数之和的形式：f(x) = x^3/3 + 2x^2/3 + x/2 = (x^3 + 2x^2 + x)/3 + (x^2 - 1)/6。
然后，我们分别对每个基本项求不定积分：
1. 对于 x^3/3 + 2x^2/3 + x/2，其不定积分是 x^4/4 + x^3/3 + x^2/2 + C1，其中 C1 是积分常数；
2. 对于 x^2 - 1，其不定积分是 x^3/3 - x + C2，其中 C2 是积分常数。
最后，我们将两个不定积分的结果相加，得到最终的不定积分结果：f(x) 的不定积分是 x^4/4 + x^3/3 + x^2/2 - x + C1 + C2。
表示为：
∫R(x)dx=∫P(x)dx+∫Q(x)dx
其中，P(x)和Q(x)是多项式函数，且P(x)的次数小于Q(x)的次数。这个公式可以用来计算有理函数的积分。
具体来说，如果Q(x)可以分解为两个多项式的乘积Q1(x)Q2(x)，即Q(x)=Q1(x)Q2(x)，且Q1(x)、Q2(x)没有公因式，则真分式P(x)/Q(x)可以拆分成两个真分式之和，即：
∫P(x)/Q(x)dx=∫P1(x)/Q1(x)dx+∫P2(x)/Q2(x)dx
其中，P1(x)和P2(x)是多项式函数，且P1(x)的次数小于Q1(x)的次数，P2(x)的次数小于Q2(x)的次数。
以上信息仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学老师以获取更准确的信息。
