取倒数法是求解某些数列通项公式的一种方法，特别是当数列的相邻两项的乘积是一个常数时。这种方法通过取相邻两项的倒数，然后利用等差数列或等比数列的性质来求解。下面是一个经典例题：
例题：
数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n = 2^n - 1，求证 {a_n} 是一个等比数列，并求其通项公式。
解答：
首先，我们知道数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n = 2^n - 1。要证明 {a_n} 是一个等比数列，我们需要证明对于任意的 n，都有 a_n / a_(n-1) = a_(n+1) / a_n。
由于 S_n = 2^n - 1，我们可以得到 S_(n-1) = 2^(n-1) - 1。那么 a_n = S_n - S_(n-1) = (2^n - 1) - (2^(n-1) - 1) = 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1)。
现在我们来计算 a_n / a_(n-1) 和 a_(n+1) / a_n：
a_n / a_(n-1) = 2^(n-1) / 2^(n-2) = 2
a_(n+1) / a_n = 2^n / 2^(n-1) = 2
由此可见，对于任意的 n，a_n / a_(n-1) = a_(n+1) / a_n = 2，这说明 {a_n} 是一个公比为 2 的等比数列。
因此，{a_n} 的通项公式为 a_n = a_1 * 2^(n-1)，其中 a_1 是数列的第一项。由于 S_1 = 2^1 - 1 = 1，所以 a_1 = 1。
所以，{a_n} 的通项公式为 a_n = 2^(n-1)。
这个例题展示了如何通过取倒数法来求解等比数列的通项公式。这种方法在处理一些特定的数列问题时非常有效。
题目：已知数列
{ a_{n}}
{a
n
}满足
a_{n} = frac{1}{a_{n - 1} + 2}(n geqslant 2)
a
n
=
a
n−1
+2
1
(n⩾2)，且
a_{1} = 1
a
1
=1，则数列
{ a_{n}}
{a
n
}的通项公式为____．
【分析】
本题考查数列的递推关系，属于中档题．
【解答】
解：由
a_{n} = frac{1}{a_{n - 1} + 2}(n geqslant 2)
a
n
=
a
n−1
+2
1
(n⩾2)，得
a_{n}a_{n - 1} + 2a_{n} = 1(n geqslant 2)
a
n
a
n−1
+2a
n
=1(n⩾2)，
即
2(a_{n} + a_{n - 1}) = a_{n}a_{n - 1}(n geqslant 2)
2(a
n
+a
n−1
)=a
n
a
n−1
(n⩾2)，
所以
frac{1}{a_{n}} + frac{1}{a_{n - 1}} = 2(n geqslant 2)
a
n
1
+
a
n−1
1
=2(n⩾2)，
所以数列
{frac{1}{a_{n}}}
{
a
n
1
}是首项为
1
1，公差为
2
2的等差数列，
所以
frac{1}{a_{n}} = 2n - 1
a
n
1
=2n−1，
所以
a_{n} = frac{1}{2n - 1}
a
n
=
2n−1
1
．
故答案为
a_{n} = frac{1}{2n - 1}
a
n
=
2n−1
1
．
