三角形外心为什么是三条垂直平分线交于一点 而不是三条角平分线交于一点（三角形一条边的垂直平分线定理）

所谓外心呢，就是外接圆的圆心；而外接圆最明显的特征就是，三个顶点都在圆周上。所以，要证明谁是外心，只要证明谁的交点到三个顶点的距离相等即可。证明：　　设有△ABC，设它的外接圆（外接圆存在性的证明不属于本题范围）为⊙O。　　既然⊙O是△ABC的外接圆，那么：（1）三点A、B、C必然都在⊙O上；（2）三边AB、BC、CA必然都是⊙O的弦；（3）圆心O到A、B、C三点的距离必然相等；　　根据：到线段两端点距离相等的点，必然在线段的垂直平分线上；　　可知：　　　　圆心，即外心——O，必然同时是线段AB、BC、CA的垂直平分线上的点。　　而O既然是存在的，那么这三条垂直平分线必然有共同点；如果它们中有任何两条是重合的，那么相应的两条线段所在的直线必然是平行的——而这是不可能的。所以唯一的结论就是：　　三条垂直平分线，相交于一个点——O；　　这也就表示：外接圆的圆心——如果有的话——一定是垂直平分线的交点。证毕； 　　同理，可根据：到角两边距离相等的点，必然在角的平分线上；来证明：三角形的内心，一定是三条角平分线的交点。