求泊松积分公式

(a)² = (-a)²

(x - y)² = (y - x)²

平方都是非负值

例如：

如果是不定积分，积不出来。

如果是(-∞，+∞)上定积分，结果是 √π（泊松积分）

设u=∫(-∞，+∞) e^(-t^2)dt

两边平方： 下面省略积分限

u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量

=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分

=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞

用极坐标

=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ

=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限

=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)

=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限

= π

这样u^2=π，因此u = √π