19世纪的德国数学家狄利克雷提出一个函数：
这属于一个人造函数，而这个函数本身却给我们带来很多深刻的思考。
首先最好来感受一下这个函数。当x取有理数的时候，函数值为1；当x取无理数的时候，函数值为0。这里纠结的地方在哪里呢？无理数和有理数密密麻麻地掺杂在一起，任意两个无理数之间有无穷多个有理数，任意两个有理数之间有无穷多个无理数。也就是不管x的区间取得多么小，函数值会急剧地在0与1之间反复跳动。
这种跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。
所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。
这就使得函数的概念扩大了。函数不一定需要表达式，甚至不需要图像，它成为了一个抽象的概念。只要存在某种对应关系，我们就可以称之为函数。
我们接着探究一下狄利克雷函数的奇偶性和周期性。
假设x是在正半轴上的，如果它是有理数，-x也为有理数；如果它是无理数，-x也为无理数。例如 ，那么 。所以对于一切x， 。于是狄利克雷函数是偶函数，也就是它的图像是轴对称的，是可以关于y轴折起来的（实数的对称性）。
再说周期性。任何有理数都可以作为狄利克雷函数的周期。即 。如果x为有理数，则有1=1；如果x为无理数，则有0=0。
无理数可不可以作为函数的周期呢？答案是否定的。假设无理数可以作为周期，肯定有 。如果我取 ，则得到1=0。然而这是不成立的，说明假设是错误的。
最后，我们回到函数的“极度”不连续上。“极度”的意思就是函数“图像”下面没有面积，也就是它和x轴围不出面积。那么我们就要去问：函数不连续到什么程度它下面才会没有面积？
