行列式的秩怎么求 有几种方法

行列式的秩怎么求 有几种方法

首页维修大全综合更新时间:2023-09-14 13:30:44

行列式的秩怎么求 有几种方法

一、行列式的秩怎么求

行列式是一个数值,没有秩

只有矩阵才有秩。

矩阵的秩求法:

1、使用初等行变换,或列变换,化成阶梯形,数一下非零行的行数(或非零列的列数),即为秩

2、使用矩阵秩的定义,找到一个k阶子式不为0,k+1阶子式为0,则秩等于k

二、如何求矩阵的秩

引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。

定理矩阵的行秩,列秩,秩都相等。

定理初等变换不改变矩阵的秩。

定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

设A是一组向量,定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

的秩,记作rA,或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得:

若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)&sup1; 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

例1. 计算下面矩阵的秩,

而A的所有的三阶子式,或有一行为零;或有两行成比例,因而所

有的三阶子式全为零,所以rA=2。

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