焦点三角形面积公式证明过程

1、离心率由正弦公式推导--F1P/sinα=F2P/sinβ=F1F2/sinθ,sinθ=sin(α+β),F1P+F2P=2a,F1F2=2c,e=c/a。

2、已知tan(θ/2)=sinα/(cosα+1)。

3、焦点三角形面积由余弦公式推导--∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n。

4、则m+n=2a，在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ。

5、即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)。

6、所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2。

7、所以mn=2b^2/(1+cosθ)。

8、S=(mnsinθ)/2=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*tan(θ/2）