拐点的判定

第一充分条件

直接根据拐点的定义，可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。

设函数f（x）在点

的某邻域内具有二阶连续导数，若

的两侧

异号，则（

，

）是曲线

的一个拐点；若

的两侧

同号，则（

，

）不是曲线的拐点。

第二充分条件

设函数

在点

处

，但

，那么存在

的一个领域，在该领域内

或

，根据函数单调性判定定理，则在该邻域内

单调递增或

单调递减，而

，故存在点

的一个邻域，在点

的两侧

异号，从而判定

为曲线

的拐点的横坐标。根据以上分析，可以得到曲线存在拐点的第二充分条件。

若

，且

,则（

，

）是曲线

的拐点。

除上述情况外，f（x）的二阶导数不存在的点也有可能是

的符号发生变化的分界点。