圆的渐开线参数方程推导

 

一、根据点M满足的几何条件，我们取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，圆的半径为r．如图，设开始时定点M在原点，圆滚动了t角后与x轴相切于点A，圆心在点B，从点M分别作AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D．设点M的坐标为(x，y)，取t为参数，根据点M满足的几何条件，

有x=OD=OA-DA

所以，摆线的参数方程为

二、渐开线的定义：

设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是弧AB的长，这就是动点满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。

三、渐开线的参数方程：

以基圆圆心O为原点，直线OM0为x轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y)。 显然，点M由角 唯一确定，取 为参数，则点A的坐标为 这就是圆的渐开线的参数方程。