压缩数列的收敛原理（怎么证明压缩数列收敛）

压缩数列收敛原理是基于压缩映射原理的。压缩映射是指在某个空间中，存在一个映射f，它的导数的绝对值小于1，即|f'(x)<1|。根据拉格朗日中值定理，当x和y之间的距离足够小时，f(x)和f(y)之间的距离小于x和y之间的距离。因此，当x不断接近于y时，f(x)和f(y)之间的距离也越来越接近。

对于压缩数列，它的定义是满足|xn+1-xn| ≤ r|xn-xn-1| (0<r<1)的数列。我们可以将这个条件转化为差商的形式，即|f(xn)-f(xn-1)|/|xn-xn-1| ≤ r。由于r小于1，所以f(xn)和f(xn-1)之间的距离比xn和xn-1之间的距离更小。因此，当n足够大时，f(xn)和f(yn)之间的距离也会足够小。

根据压缩映射的原理，当n足够大时，压缩数列的项会逐渐趋近于一个唯一的极限值，这个值就是数列的收敛值。因此，压缩数列是一定收敛的。