一天小明去做例行体检，检查结果显示小明对一宗罕见的病呈阳性，医生根据历史数据得知普通人得这种病的概率是0.1%(基础概率，Prior Belief)。于是小明问医生，我得了这种病的概率是多少呢？医生说，患者的检测结果99%会呈阳性，对于非患者，有1%的概率会呈阳性（误诊）。
大家先问问自己，小明患病的概率是多少？大部分人的直觉答案是99%，或者至少很高。可惜错了，因为我们忽略了基础概率，请仔细阅读下面的分析。
当我们用贝叶斯定理分析时，我们可以假设检查呈阳性为事件A，发生的概率为P(A)；小明患病为事件B，发生的概率为P(B)；两个事件一起发生的概率为P(A [公式] B)。根据正文前的概念1可知P(B|A)*P(A) = P(A|B)*P(B)，等式两边同时除以P(A)可以得到P(B|A) = P(A|B)*P(B)/ P(A)。
现在我们把具体情境套入公式，P(B|A)代表当小明的检查为阳性时，小明为患者的概率（也就是小明最关心的问题）；P(A|B)代表当小明为患者的情况下，检查呈阳性的概率（99%）；P(B)是小明患病的基础概率，也就是在没有其他信息的情况下，小明患这种病的概率（0.1%）；P(A)是随机挑一个人，检查结果为阳性的期望值（备注1），这个例子中P(A) = 0.01098。把数字代入公式中，我们可以得到P(B|A) [公式] 9%，也就是说在检查结果为阳性的情况下，小明患病的概率只有9%。
虽然以上结论非常反直觉，但是一旦把被误诊为阳性的人考虑进去，这个结论就符合直觉了。假设有个1000人的样本，根据基础概率（0.1%）只会有1个病人，而剩下的999个非患者有1%的概率被误诊，也就是大约有10个非患者的检查结果呈阳性。加上1个被确诊的患者，这个1000人的样本中共有11个人的检查结果为阳性，而只有一个病人，也就是1/11 [公式] 9%。回到原来的情景，我们可以想象小明在一个有11个检查结果为阳性，却只有一个病人的小组中，所以小明是患者的概率约为9%。
这是不是表明医学对监测罕见疾病无能为力呢？当然不是，解决问题的方法很简单，只要对第一次结果呈阳性的人再做一次检测就行了（假设两次检查结果互相独立）。第一次的结果为阳性的的小组里，患病的基础概率已经从0.1%提高到9%，把数据重新代入公式，我们可以得出P(B|A) [公式] 91%。
以上是对贝叶斯定理的简单应用，其实大到破解德军密码到小到筛选垃圾邮件都运用了贝叶斯定理，说它贯穿了我们生活的方方面面也一点不过分。贝叶斯定理让我们关注基本概率，并通过新的信息不断更新基本概率，从而提高判断的准确度。
一个简单的公式背后是指导认识世界的深刻哲学，这才是能让人兴奋得尖叫的智慧。
备注1：P(A) = P(B)*P(A|B) + P(-B)*P(A|-B)。呈阳性的期望值分为两部分，一种是“患者(B)”的确诊，另一种是“非患者(-B)”的误诊，分别把“患者”和“非患者”的基础概率乘以其确诊的误诊的概率就是随机挑选一个被试，检查结果呈阳性的概率。
