用余弦定理，假设角是x。则cosx=(600²+511²-783²)/(2×600×511)=0.0131x约等于89度15分对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到：将两式相加：利用正弦定理证法在△ABC中，sin²A+sin²B-sin²C=[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降幂公式）=-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2=-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积）=-cos（A+B）cos（A-B）+cos²C（降幂公式）=cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C以及诱导公式）=cosC[cos（A-B）-cosC*cos（A+B）]=2cosC*sinA*cinB（和差化积）（由此证明余弦定理角元形式）设△ABC的外接圆半径为R∴（RsinA）²+（RsinB）²-（RsinC）²=（RsinA）*（RsinB）*cosC∴a²+b²-c²=2ab*cosC（正弦定理）∴c²=a²+b²-2ab*cosC 平面向量证法∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=（a+b）·（a+b）∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵cos（π-θ）=-cosθ（诱导公式）∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ此即c²=a²+b²-2abcosC即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b同理可证其他，而下面的cosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
