题主的魔方因曾经拆散后重装,造成了无解的状态。
可以拆掉一个角块,将方向旋转至“小鱼1、小鱼2”可解决的状态。或者干脆拆掉整个第三层,直接拼装为还原状态。
接下来,简单给题主说明下,为何“拆散重装后的魔方会造成无解”。
经拆散后重装的魔方,有11/12的概率无法通过旋转还原
魔方有三类变化是无法通过旋转实现的:
无法单独翻转一个角块的方向。
无法单独翻转一个棱块的方向。
无法单独交换一对棱块的位置。
拆散再重装,即有可能出现需要进行上述三种操作才能还原魔方,这个概率是11/12。
为什么那三类变化无法通过旋转魔方实现?
我们首先引入一个概念——
最小操作
,可以理解为完成一个事件的最小的、不可拆分的操作
。比如,一家餐厅,米饭2元、馒头1元、粥3元。在这家餐厅消费,因其定价特点,无论何种点餐组合,支出的费用都只可能是
整数元
。所以,“支出1元
”便是在这家餐厅消费的“最小操作
”。魔方的“最小操作”是将魔方的一层
旋转90
°。魔方的
角块
有3个色片,即有3种方向
。我们把魔方还原状态
下的角块方向,记为3n
;角块顺时针翻转
后,记为3n+1
;逆时针翻转
后,记为3n-1
。魔方进行一次最小操作后,有两个角块方向翻转为3n+1,另两个翻转为3n-1,即
四个角块的方向加和为3n×4
。那么,任意次旋转魔方,所涉及
角块方向加和
为3n的整数倍
。所以,不可能将一个角块翻转为3n+1或3n-1,而其他角块方向不变,即无法单独翻转一个角块
。接下来,我们再来引入一个概念——
置换
。假设有3个元素A、B、C,将A移动到B、B移动到C、C移动到A,我们将这个过程记为置换 (A, B, C)
。显然,(A, B, C)
可以拆分为(B, C) + (A, B)
;(A, B, C, D) = (A, B) + (A, C) + (A, D)
。如此,我们将可以拆分为
偶数个子置换
者称为偶置换
,无置换
亦为偶置换
;可以拆分为奇数个子置换
者称为奇置换
,不可拆分的置换
亦为奇置换
。不难理解,
奇置换 + 奇置换 = 偶置换
;偶置换 + 偶置换 = 偶置换
;奇置换 + 偶置换 = 奇置换
。魔方的
棱块
有2个色片,即有2种方向
。基于置换概念,单独翻转一个棱块
为奇置换
。翻转棱块方向
,需要进行两次最小操作,即某个面旋转180°。该面上的四个棱块方向同时翻转,此为四个奇置换,奇置换 × 4 = 偶置换
。魔方还原状态 = 偶置换
。因
偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换
,即魔方还原状态下(偶置换),不可能通过一系列翻转棱块操作(偶置换 + 偶置换),从而达到单独翻转一个棱块的效果(偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换),所以无法单独翻转一个棱块
。基于置换概念,魔方进行一次最小操作,某面旋转90°,四个角块、四个棱块同时向旋转方向循环移动一位,角块、棱块位移分别为奇置换,
故一次最小操作 = 奇置换 × 2 = 偶置换
。单独交换一对棱块 = 奇置换
。魔方还原状态 = 偶置换
。因
偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换
,即魔方还原状态下(偶置换),不可能通过一系列最小操作(偶置换 + 偶置换),从而达到单独交换一对棱块的效果(偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换),即无法单独交换一对棱块
。综上,以“最小操作”概念证明无法单独翻转一个角块,以“置换”概念证明无法单独翻转、交换一个棱块。
更为详细的讲述,题主可以阅读以下文章:
92%的魔方在拆散后无法还原!(2018/10/29)_碧海风云