双曲线的切点弦公式推导如下：设双曲线方程为y=a cosh(x/a)，则其导数为y'=sinh(x/a)。
过点(x0,y0)的切线方程为y-y0=sinh(x0/a)(x-x0)，将其与双曲线方程联立，得到y0=a cosh(x0/a)-sinh(x0/a)(x-x0)，将其化简可得y0^2-a^2=(x-x0)^2。因此，切点的坐标为(x0,y0)。
假设双曲线方程为：y²/16 - x²/9 = 1，即 y = 1/16x - 1/9x^2。
过双曲线上任意一点 P(x0, y0)，作垂直于 x 轴的切线 PA、PB。
过点 A 作 PA 的垂线，交于点 M。
过点 B 作 PB 的垂线，交于点 N。
过点 P、M、N 分别作 PA、PB 的垂线，交于点 Q。
设点 P(x0, y0) 关于直线 MN 的对称点为 R(x1, y1)。
则过点 R(x1, y1) 的直线方程为：y = -1/9x - 1/27x² + c。
将上述直线方程代入双曲线方程，得到关于直线 MN 的方程：y²/16 - (-1/9)x²/9 = 1。
化简方程，得到关于 y 的一元二次方程：(-1/9)x² + 8/27x - 16/9 = 0。
求解一元二次方程，得到 x0 = 0，y0 = 0。
在步骤6中，设点 R(x1, y1) 关于直线 MN 的对称点为 R'(x2, y2)。
则过点 R'(x2, y2) 的直线方程为：y = -1/9x - 1/27x² + c。
将上述直线方程代入双曲线方程，得到关于直线 MN 的方程：y²/16 - (-1/9)x²/9 = 1。
化简方程，得到关于 y 的一元二次方程：(-1/9)x² + 8/27x - 16/9 = 0。
求解一元二次方程，得到 x0 = 0，y0 = 0。
因此，双曲线的切点弦公式为：y = -1/16x - 1/9x² + c，其中c为任意常数。
这个推导过程可以根据具体的双曲线方程和求解方法进行调整和优化，以得到更准确和通用的公式。
