如何求反三角函数的导数(反三角函数求导公式大全高等数学)

如何求反三角函数的导数(反三角函数求导公式大全高等数学)

首页维修大全综合更新时间:2024-03-20 08:15:20

如何求反三角函数的导数

反三角函数导数:(arcsinx)'=1/√(1-x²);(arccosx)'=-1/√(1-x²);(arctanx)'=1/(1+x²);(arccotx)'=-1/(1+x²)。

一,反三角函数导数公式

反正弦函数的求导:(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

反余弦函数的求导:(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

反正切函数的求导:(arctanx)'=1/(1+x^2)

反余切函数的求导:(arccotx)'=-1/(1+x^2)

二,反三角函数的求导过程

反正弦函数的求导过程:

y=arcsinx,

那么,siny=x,

求导得到,cosy*y'=1

即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)²]=1/√(1-x²)

反余弦函数的求导:

(arccosx)'

=(π/2-arcsinx)'

=-(arcsin X)'

=-1/√(1-x^2)

反正切函数的求导:

y=arctanx,x=tany,

dx/dy=sec²y=tan²y+1,

dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan²y+1)=1/(1+x²)

以y=arcsinx为例,来求反三角函数的求导过程。

(根据函数与反函数的导数关系来证明)

设函数x=siny,y∈(-π/2,π/2),它的反函数记为为y=arcsinx,x∈(-1,1)

函数f=sinx,x∈(-π/2,π/2)上单调,可导。x'=cosy≠0,y∈(-π/2,π/2)

根据函数与反函数的导数关系

则(arcsinx)'=1/cosy

y∈(-π/2,π/2)时,cosy>0

所以

同理可以证明函数y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx的导数。

【补充】

函数与反函数的导数关系:

设y=f(x)在点x的某邻域内单调连续,在点x处可导且f'(x)≠0,则其反函数在点x所对应的y处可导,并且有

dx/dy = 1/(dy/dx)

sin反函数求导过程

2反三角函数的导数推导过程

其实很简单,就是利用dy/dx=1/(dx/dy),然后进行相应的换元

比如说,对于正弦函数y=sinx,都知道导数dy/dx=cosx

那么dx/dy=1/cosx

而cosx=√ (1-(sinx)^2)=√(1-y^2)

所以dx/dy=√(1-y^2)

y=sinx可知x=arcsiny,而dx/dy=1/√(1-y^2)

所以arcsiny的导数就是1/√(1-y^2)

为了好看点,再换下元arcsinx的导数就是1/V(1-x^2)

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