平面向量三角形四心公式是指三角形的三条中线所对应的四个点的平面向量之和为零，即G+I+O=3F。其中，G为重心向量，I为内心向量，O为外心向量，F为垂心向量。这个公式可以通过向量的运算和解析几何的知识推导出来。
具体来说，可以利用向量的加法、减法、数量积和向量积等运算，以及三角函数、三角形面积公式等解析几何的知识，进行推导。
1. 重心G的向量表示和推导：
重心G是由三角形三个顶点的向量之和再除以3得到的，即 G = (A+B+C)/3。
其中，A、B、C分别为三角形ABC的三个顶点的向量表示。
2. 外心O的向量表示和推导：
外心O是三角形的外接圆心，可以通过求三条垂直平分线相交的点得到。
设三角形的三边分别为AB、BC、AC，对应中垂线分别为D、E、F，则外心O是三条垂直平分线DE、EF、FD的交点。
因此，可以用向量表示来计算O点的坐标，方法如下：
a. 求三边上的中点M1、M2、M3，即M1=(A+B)/2, M2=(B+C)/2, M3=(A+C)/2。
b. 求出两个垂直平分线的方向向量u和v，其中u=M2-M1，v=M3-M1。
c. 求出垂直平分线上一点P，即P=M1+u x (v x u)/(v x u)。
d. O点坐标为P的向量表示，即 O = P。
其中，“x”表示向量的叉积运算，“/”表示向量的数量积运算（即点积）。
3. 内心I的向量表示和推导：
内心I是三角形的内切圆心，可以通过求三边的角平分线相交的点得到。
设三角形的三边为AB、BC、AC，角A的平分线交BC于点D，角B的平分线交AC于点E，角C的平分线交AB于点F，则内心I是三条角平分线AD、BE和CF的交点。
因此，可以用向量表示来计算I点的坐标，方法如下：
a. 求出角B和角C的平分线的交点P1，即P1=B+(C-B)/(|C-B|+|C-A|)。
b. 同理，求出角A和角C的平分线的交点P2，即P2=C+(A-C)/(|A-C|+|A-B|)。
c. 最后，求出角A和角B的平分线的交点，即I=A+(B-A)x(P1-A)/(B-A)x(P1-A)+(C-A)x(P2-A)/(C-A)x(P2-A)。
其中，“| |”表示向量的模运算，即长度或大小。
