三角形的四心是指三角形的内心、外心、垂心和重心。下面是它们的定义和推导：
1. 内心：三角形内切圆的圆心为内心。假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，则内心的坐标可以用以下公式表示：
内心的x坐标 = (a * A_x + b * B_x + c * C_x) / (a + b + c)
内心的y坐标 = (a * A_y + b * B_y + c * C_y) / (a + b + c)
2. 外心：三角形外接圆的圆心为外心。我们可以通过三角形的垂直平分线交点来确定外心。假设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的垂直平分线交点为D、E、F，则外心的坐标可以用以下公式表示：
外心的x坐标 = (a * D_x + b * E_x + c * F_x) / (a + b + c)
外心的y坐标 = (a * D_y + b * E_y + c * F_y) / (a + b + c)
3. 垂心：三角形三条高的交点为垂心。假设三角形的三个顶点为A、B、C，则垂心的坐标可以用以下公式表示：
垂心的x坐标 = (A_x + B_x + C_x) / 3
垂心的y坐标 = (A_y + B_y + C_y) / 3
4. 重心：三角形三条中线的交点为重心。假设三角形的三个顶点为A、B、C，则重心的坐标可以用以下公式表示：
重心的x坐标 = (A_x + B_x + C_x) / 3
重心的y坐标 = (A_y + B_y + C_y) / 3
这些公式的推导可以通过几何方法或向量运算进行，需要更详细的讨论和证明。
三角形四心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
