柯西不等式6个基本题型（基本不等式15种题型）

柯西不等式高中公式

定理 1：二维柯西不等式的代数形式

设 a, b, c, d 均为实数

(a²+b²)( c²+d²) ≥ (ac+bd)² ，其中当且仅当 ad = bc时，等号才成立。

定理 2：柯西不等式的向量形式

设 α，β为平面上的两个向量，则

|α|·|β|≥|α·β|，其中当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时，等号成立。

也就是β是零向量，或存在实数 k，使α＝kβ时，等号才成立。

定理 3：三角不等式

设 x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ 为任意实数

则：[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]½+[(x₂-x₃)²+(y₂-y₃)²]½≥[(x₁-x₃)²+(y₁-y₃)²]½。

当且仅当 P1(x₁, y₁),P2(x₂, y₂),0(0, 0)三点共线且 P1, P2 在点 O 两旁时，等号成立。