鞅的性质(鞅的中心极限定理)

鞅的性质(鞅的中心极限定理)

首页维修大全综合更新时间:2024-04-10 13:26:23

鞅的性质

局部鞅(local martingale)是鞅的局部化类。设X=X(e),e∈R₊是Fₑ适应过程,称X为Fₑ局部鞅(简称局鞅),如果存在停时序列Sₔ,Sₔ↑+∞ a.s.使得X^(Sₔ)=X(e∧Sₔ),e∈R₊是Fₑ一致可积鞅。一个非负可积Fₑ局部鞅必是Fₑ上鞅。许多著作在局部鞅的定义中对X(0)加以特别对待。例如有,X(e),e∈R₊称为局部鞅,如果X(0)∈F₀,并且存在停时序列Sₔ,Sₔ↑+∞ a.s.使得X(e∧Sₔ)-X(0)是Fₑ一致可积鞅。

性质1 设M为一非负局部上鞅,若 可积,则M为上鞅。

性质2 设M为一右连续适应过程,

局部鞅

局部鞅

1)为要M是局部鞅,必须且只需存在停时,使得每个 为一致可积鞅。

局部鞅

局部鞅

局部鞅

2)设S,T为两个停时,使得 及 为一致可积鞅,则 也为一致可积鞅。

局部鞅

局部鞅

局部鞅

3)如果存在停时列,使得,且每个 为局部鞅,则M为局部鞅。

局部鞅

局部鞅

性质3 设M为一局部鞅,T为一停时,则为要 为一致可积鞅,必须且只需 为类(D)过程。

局部鞅

局部鞅

局部鞅

性质4 设M为一局部鞅,T为一停时,为一 可测实值随机变量,则 为局部鞅。

性质5 可料局部鞅为连续局部鞅。

局部鞅

性质6 设M为一可料的局部可积变差鞅,则。

局部鞅

局部鞅

局部鞅

性质7 设A为一局部可积变差适应过程,为其可料对偶投影,则 为唯一的可料有限变差过程,使得 为零初值局部鞅。

局部鞅

局部鞅

局部鞅

局部鞅

局部鞅

性质8 设 为一适应局部可积变差过程, ,其中 为A的连续部分,为A的可及跳部分,为A的绝不可及跳部分,则

局部鞅

局部鞅

1) 为纯断的,为连续的;

局部鞅

局部鞅

2)为要 连续,必须且只需 为局部鞅;

局部鞅

局部鞅

局部鞅

3)为要 纯断。必须且只需 =0,且 为局部鞅。

局部鞅

性质9 设 为一局部可积变差鞅,令

局部鞅

局部鞅

局部鞅

则 为一局部可积变差过程,且其可料对偶投影 连续.我们有

局部鞅

此外,若M只有可及跳,则

局部鞅

性质10 设X为一非负右连续上鞅,则X有如下唯一分解:

局部鞅

局部鞅

其中M为在 中有界的局部鞅,A为一零初值可料可积增过程。

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