单调有界准则证明例题(证明函数有界和无界例题)

单调有界准则证明例题(证明函数有界和无界例题)

首页维修大全综合更新时间:2024-04-15 05:21:27

单调有界准则证明例题

单调有界准则是实数完备性的一个重要应用。证明例题如下:假设有一个单调递增的数列{an},且存在一个上界M,即对于所有的n,有an≤M。根据单调有界准则,这个数列必定收敛。证明思路如下:首先,由于数列单调递增,可以证明数列是有界的。其次,由于数列有上界M,可以使用实数完备性的定义,即数列存在一个极限L。最后,通过数列的单调性,可以证明极限L就是数列的极限。因此,根据单调有界准则,这个数列收敛。

证明: ∵ x(n+1) =√[2+x(n)] x(1)=√2 显然,x(n)>0 [x(n+1)]² - [x(n)]² =2+x(n)-[x(n)]² =-[x(n) -2][x(n)+1] 假设:x(n)<2,那么: 1° x(1)=√2<2 x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2 x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=2 2° 令:n=k时,x(k)<2也成立,那么当n=k+1时: x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2 因此:当n=k+1时,x(k+1)<2也成立! 综上,x(n)<2 于是: [x(n+1)]² - [x(n)]² =2+x(n)-[x(n)]² =-[x(n) -2][x(n)+1]>0 ∴ x(n+1) >x(n) 对于数列{x(n)}: 1)x(n+1) >x(n),数列单调递增; 2)x(n)<2,该数列有上确界 ∴数列{x(n)}极限存在! 设:lim(x→∞) x(n)=A 对x(n+1) =√[2+x(n)]两边求极限,于是: A=√(2+A) 解得:A=2和-1 根据极限保号性,A=-1舍去,因此: lim(x→∞) x(n)=2

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