要证明一个数列单调递增且有界，我们需要证明两个条件：
1.数列是单调递增的：这意味着对于任意的 n 和 m（n<m），都有 an<am。2.数列有界：这意味着存在一个正数 M，使得对于所有的 n，都有 an<=M。
证明过程如下：
1.假设数列{an}单调递增。我们需要证明数列有界。为了证明这一点，我们可以使用反证法。假设数列无界，那么对于任意的正整数 M，总存在一个大于 M 的整数 n，使得 an>M。这意味着数列中的元素不断增加，没有上限，这与我们的假设矛盾。因此，数列{an}必须是有界的。
2.假设数列{an}有界。我们需要证明数列单调递增。为了证明这一点，我们可以使用数学归纳法。首先，我们需要证明当 n=1 时，an<=M（假设数列有界）。这是显然的，因为如果 an>M，那么数列就无界了，与我们的假设矛盾。
接下来，我们需要证明对于任意的 n（n>1），都有 an<=M。假设对于任意的 k（k<n），都有 ak<=M。我们需要证明 an<=M。根据数列的定义，an=f(an-1)，其中 f 是一个单调递增的函数。由于 ak<=M，我们可以得到 f(ak)<=f(M)。因此，an=f(an-1)<=f(M)，这意味着 an<=M。这就证明了数列{an}是单调递增的。
以上就是证明数列单调递增且有界的完整过程。
