1. 偏微分方程
偏微分方程（Partial Differential Equation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。
在物理模型中，最常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。最简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。
2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论
一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式：
a∂2u∂x2+b∂2u∂x∂y+c∂2u∂y2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu(x,y)+g(x,y)=0
根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式：
Δ=b2−4ac>0⇒双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统
Δ=b2−4ac=0⇒抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统
Δ=b2−4ac<0⇒椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统
常见的经典二阶线性偏微分方程：
1) 波动方程：∂2u∂t2−1a2∇2u=f(x,y,z,t)，一维的波动方程 Δ=1a2>0 属双曲型方程；
2) 热传导方程：∂u∂t−k∇2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 属抛物型方程；
3) 泊松方程：∇2u=f(x,y,z,t) 其齐次形式 ∇2u=0 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。
3. 初始条件和边界条件
正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。
边界条件
边界条件规定了未知量 u 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 u 的偏微分方程的区域关于自变量x的边界是x=x1和x=x2（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式：
u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)
就构成了一组边界条件。
一般地说，边界面的形状记作Σ，则比如：
1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：u(x,y)|Σ=ϕ(x,y)
2) 第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件（给出未知量的偏导数值）：∂u(x,y)∂n=ψ(x,y)
3) 第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件（给出未知量取值和偏导数的线性叠加）：αu(x,y)|Σ+β∂u(x,y)∂n=γ(x,y)
边界条件的类型非常丰富，只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件，一些常用但比较特别的比如：
a) 规定无穷远处未知量u为零：limr→∞u(x,y)=0,r=x2+y2−−−−−−√；
b) 或者正则条件，给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式：u(r)∼1r
b) 规定某点处未知量u有界：u(x0,y0)有界
初始条件
初始条件规定了未知量 u 在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。比如关于独立变量x,y的未知量u(x,y)：
u(x,y)|x=x0=u0(y),∂u∂x|x=x0=f(y)
就构成了初始条件。有时，初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形，实际上也可以理解为一种边界条件，但是初始条件是“单边条件”，即只给出一个变量在一个点的值，而不会给出在整个边界上的信息，因此二者很容易区分。
初始条件得名的原因是，给出初始条件往往是对于时间变量t，其物理意义为初始时刻系统的状态。
