在欧式空间(Euclidean space，欧几里德空间)中，同一平面上的两条平行线永不相交。这是每个受过九年义务教育的人都知道的常识。
然而，这一常识在射影空间(projective space)中不再成立了，例如，你站在铁道上观察铁轨，举目远望，随着铁轨离你的视线越来越远，铁轨会变得越来越窄，最终会在地平线处相交，相交于一个无穷远处的点(at a point at infinity)。
铁轨在远处变窄，在地平线处相交
欧式空间(或笛卡尔空间，Cartesian space)很好地描述了我们常见的2D/3D几何图形(或几何结构)，但它们不足以应付射影空间 (实际上，欧式几何是射影几何的一个子集)。
一个2D点的笛卡尔坐标可以表示为 (x, y)。如果把点移到无限远处，怎么表示呢？在无限远处的点是  ，这在欧式空间中是没有意义的。在射影空间中，平行线应该在无限远处相交，但在欧式空间中不是这样的。数学家们发现了一个方法来解决这个问题。
齐次坐标(Homogeneous coordinate，由August Ferdinand Möbius提出)使得能够在投影空间中进行图形和几何的计算。齐次坐标是一种用  N+1个数表示N  维坐标的方法。
为了表示2D齐次坐标，我们简单地在已有的(笛卡尔坐标)坐标上添加一个变量  。因此，一个笛卡尔坐标  用齐次坐标表示就变成了  。笛卡尔形式的  和  与齐次坐标  和之间的关系为:

举例，一个笛卡坐标  用齐次坐标可以表示为  。如果把这个  点移到无穷远处时，它变成了  (笛卡尔坐标表示)。但在齐次坐标中它可以表示为  ，因为  。注意使用齐次坐标，我们可以不用"  "就能表示无穷。
Why is it called "homogeneous"?
为什么称为齐次坐标？“齐次”是什么意思？
正如之前提到的那样，为了把齐次坐标  转化为笛卡尔坐标，我们简地用  除  :

由齐次坐标转化为笛卡尔坐标的过程，我们可以发现一个事实，看下面的例子，箭头左边是齐次坐标，右边是对应的笛卡尔坐标:
如你所见，齐次坐标点  和  对应于同一个笛卡尔坐标点  。并且任何标量乘积  和笛卡尔坐标点  都是同一个点。因此，这些点是“homogeneous”(即同质的，齐次的)，因为它们在欧式空间(或笛卡尔空间)中表示同一个点。换句话说，齐次坐标具有缩放不变性。
平行线不可能相交。因平行线的定义是：在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行线。∴在同一平面内两直线位置关系：不平行就相交，不相交就平行。
