要证明共角三角形的面积之比，在给定条件下，可以使用以下的几何方法：
假设有两个共角三角形 ABC 和 A'B'C'，它们对应的顶角相等，即∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
我们需要证明这两个三角形的面积之比为：
面积(△ABC) / 面积(△A'B'C') = (AB^2 / A'B'^2)
证明过程如下：
1. 根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2。因此，我们可以将面积的比例转化为底边和高的比例。
2. 假设 AB 和 A'B' 是底边，h 和 h' 是对应的高，那么我们需要证明的是：
(h * AB) / (h' * A'B') = (AB^2 / A'B'^2)
3. 我们希望利用三角形的相似性来求解。根据共角三角形的定义，我们可以得知三角形 ABC 和 A'B'C' 是相似的。
4. 由相似三角形的性质可知，对应边的比例相等。所以，我们可以得到以下的比例关系：
AB / A'B' = BC / B'C' = AC / A'C'
5. 由于我们是在证明面积之比，而不是边长之比，我们可以利用这些比例关系来消除底边的影响。
6. 由步骤4可得 AB / A'B' = h / h'，进一步变形为 h * AB = h' * A'B'。
7. 将这个等式代入到我们需要证明的比例中，我们有：
(h * AB) / (h' * A'B') = [(h' * A'B') / (h' * A'B')] * (AB^2 / A'B'^2) = AB^2 / A'B'^2
8. 因此，根据上述推导，我们证明了共角三角形的面积之比为 (AB^2 / A'B'^2)。
通过上述的证明过程，我们得出了共角三角形的面积之比的结论。
共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
根据面积公式：S=absin[C]/2可证.
用于将面积比转化为线段比.
