矩阵特征值的大小等于什么（矩阵特征值的通俗意义）

矩阵特征值的大小，从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶 对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。

N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。

特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。

如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。

为讨论方便，设A为m阶方阵。

证明：设方阵A的秩为n。

因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如：

1 0 … 0 … 0

0 1 … 0 … 0

…………………

0 0 … 1 … 0

0 0 … 0 … 0

…………………

0 0 … 0 … 0