一、函数和极限
映射->函数
数列极限->函数极限(无限接近)
函数极限趋近于0->无穷小,函数永远增长->无穷大
函数极限计算和推导方法
无穷小阶数比较
函数映射的伴随增量无穷小变化相随-->函数连续性
函数连续性的推导原则
二、导数和微分
导数：函数伴随因变量无穷小变化的函数值变化规则
函数求导法则
高阶导数
隐函数求导、参数方程求导
微分:函数伴随因变量无穷小变化的函数求值
微分计算方法
三、微分中值定理和导数应用
罗尔定理:极点对导数的反推。
微分中值定理：由函数曲线切线->拉格朗日中值公式:用导数求函数值
中值公式证明反推-->双函数的柯西中值定理:两个函数导数之间的关系。
分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法：洛必达法则
泰勒公式：用多级导数多项式来求函数值。
函数单调性与函数曲线凹凸,函数曲线凹凸与拐点
函数极值
弧微分：用切线求微弧线段长度
弧度：角度除以微弧线-->曲率圆，曲率半径、曲率中心
高等数学中的极限是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域起着核心作用。以下是高等数学极限的基础知识：
1.极限的定义：设函数 f(x) 在某个点 a 的某个邻域内有定义，如果对于给定的任意正数 ε，存在另一个正数 δ，使得当 x 在 (a-δ, a+δ) 的区间内且不等于 a 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记作 lim(x→a) f(x) = L。这里的 L 可以是一个实数或者正负无穷大。
2.无穷大与无穷小：当函数 f(x) 在某一点 a 的某个邻域内，当 x 趋于 a 时，若 f(x) 的绝对值可以任意大，则称 f(x) 是 x 趋于 a 时的一个无穷大。若 f(x) 的绝对值可以任意接近零，则称 f(x) 是 x 趋于 a 时的一个无穷小。
3.极限的性质：
a.唯一性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时存在极限，那么该极限是唯一的。
b.保号性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在且大于零（或小于零），那么在 a 的某个邻域内，函数 f(x) 的取值始终大于零（或小于零）。
c.有界性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在且有限，那么在 a 的某个邻域内，函数 f(x) 的取值都是有界的。
4.极限运算法则：
a.基本四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 的某个邻域内有定义，且 lim(x→a) f(x) = L 和 lim(x→a) g(x) = M，则有以下结论：
lim(x→a) [f(x)±g(x)] = L±M
lim(x→a) [f(x)·g(x)] = L·M
lim(x→a) [f(x)/g(x)] = L/M （当 M ≠ 0 时）
b.复合函数法则：如果函数 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 b，函数 f(x) 在 b 处存在极限 L，则复合函数 f(g(x)) 在 x 趋于 a 时的极限为 L。
5.重要的极限：
a.自然对数的基数 e 的极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e
b.正弦函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1
c.三角函数的极限：lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2
这些是高等数学中极限的基础知识，极限还涉及到数列极限、级数的收敛性等内容。通过对极限的研究，我们可以更深入地理解和应用微积分和数学分析的相关概念和方法。
