牛顿的万有引力定律
是通过开普勒
实际观察行星运动归纳出的三大定律：
①所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
②行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
③所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道长半轴的立方成比例
以太阳为极坐标
原点，根据第二定律
：r²θ=C，于是有θ=Cu²，u=1/r，进行适当数学变换：
根据运动学方程：F=ma=m（r-rθ），将r=常常一串代入F=mrθ，得到比奈公式：
又根据第一定律，太阳（原点）在椭圆的一个焦点上，那么轨道方程为：r=p/(1+ecosθ)，其中p和e为椭圆的半通径和偏心率
，为常数，那么有：
代入比奈公式，可以得到：
上式说明了行星在运动过程中受到太阳的引力大小和行星质量成正比，和距离的平方成反比。
这是一个行星的计算结果，只能说明行星受太阳的引力具有上式的形式，是否对任意的行星都具有相同的G呢？
令a为椭圆轨道长半径，e为偏心率，则椭圆面积为
代入引力公式有：
根据第三定律，对任意两个行星，a1³/T1²=a2³/T2²，于是我们发现G是一个常数！
万有引力定律证明完毕！！
万有引力定律的推导主要建立在开普勒三定律的基础之上,此外还吸取了前人的其他结果,比如伽利略铁球同时落地的结果.从铁球同时落地,我们知道初始运动状态相同的不同质量的东西在重力作用下运动状态相同,也就是加速度也时刻相同,结合牛顿第二定律F=ma可知,重力是一个正比于物体质量的力.
牛顿由苹果落地得到重力就是万有引力的一种体现,是一个很重要的结论：假设两个物体质量M和m,由前面的结论,知道,对第二个物体,引力F正比于m；同样对第一个物体,F'应该正比于M,而牛顿第三定律告诉我们,F和F‘大小相同,因此万有引力应该正比于Mm.
卡普勒第二定律表明行星运动是角动量守恒的,因为受到的是一个有心力(只与距离r的大小有关),进一步表明万有引力的方向由一个质点指向另一个质点的,这也与牛顿第三定律以及人们的直觉相吻合.
而开普勒第三定律(行星运动周期与长轴的关系)表明,万有引力与距离r平方成反比(用一个圆轨道特例计算,假设写作万有引力可以用距离r的幂次展开即可得到这个幂次只能是-2).综上,牛顿总结出,万有引力F正比于Mm/r^2,比例系数可以定义为引力常数,即F=GMm/r^2
