角平分线
三角形的三条角平分线交于一点，也是三角形内切圆的圆心，称为三角形的内心。
在三角形ABC中，I为三条角平分线的交点，根据角平分线定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，所以ID=IE=IF，I为三角形ABC的内切圆圆心。

中线
三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心将中线分为两部分，长度比为2:1，三角形的重心与三个顶点的连线把三角形分为面积相等的三个三角形。
在三角形ABC中，AO:OE=2:1 ，BO:OF=2:1，CO:OD=2:1，
根据三角形面积公式：S△ABC=1/2BC*AE, S△BOC=1/2BC*OE，所以S△ABC=3S△BOC，同理S△ABC=3S△AOC, S△ABC=3S△AOB，所以△AOC=△BOC=△AOC。

三边的中垂线
三角形三边的中垂线交于一点，也是三角形外接圆的圆心，称为三角形的外心。
在三角形ABC中，OD垂直平分BC，OE垂直平分AC，OF垂直平分AB，根据中垂线定理，中垂线上的点到线段两端距离相等，AO=BO=CO，所以O为三角形ABC的外接圆圆心。

高
三角形三边上的高交于一点，是三角形的垂心。
根据三角形角的大小分类，锐角三角形的垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心在斜边上，钝角三角形的垂心在三角形的外部。

中位线
三角形的中位线是连接两边中点的线段，平行于三角形的第三边，且长度为第三边的一半。
在三角形ABC中，DE为中位线，则DE平行于BC，DE=1/2BC，S△ABC=4S△ADE。

几种特殊的三角形
等腰三角形
性质：
1、等腰三角形的腰相等、底角相等；
2、底边上的中线、高与顶角的角平分线重合；
3、两腰上的高相等、中线相等，两底角的角平分线相等。
等边三角形
性质：
1、三边相等，三角相等；
2、重心、垂心、内心、外心重合，统称为中心；
3、各边上的中线、高、各角的角平分线重合且相等。
直角三角形
性质：
1、三边长度符合勾股定理：a+b=c；
2、斜边上的中线等于斜边的一半；
3、外心为斜边的中点，垂心为直角顶点；
4、外接圆的半径R=c/2，内切圆的半径r=(a＋b－c)/2

在三角形ABC中，设AE=x，则AD=AE=x，r=CE=CF=a-x，BD=BF=BC-CF=b-(a-x)=b-a+x，AB=AD+BD=x+b-a+x=b-a+2x=c，所以x=(c-b+a)/2，r=a-x=(a＋b－c)/2；
5、30度角对应的直角边等于斜边的一半，反之，如果直角边的长度为斜边的一半，这条直角边对应的角为30度；
6、等腰直角三角形的三边长度之比为1：1：√2，有一个角为30度的直角三角形的三边长度之比为1：√3：2
