不一定
【条件1：Sn有上界】是【条件2：An收敛】的必要非充分条件.
因为An收敛,则An【单调】有界.那么Sn就一定有界.
但Sn有界并不能保证An一定【单调】有界即收敛.
所以前者应该是后者的必要非充分条件.
比如An=（-1)^n
S1=1
S2=1-1
S3=1-1+1
……
Sn=1-1+…+（-1)^n
则|Sn|
有界数列不一定收敛，比如数列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1 {b(n)}有界，b(n)为摆动数列，但是不收敛。
数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。

扩展资料：
收敛数列与其子数列间的关系，子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M，若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
本视频是高等数学系列教学视频之一，该系列教学视频是系统的教学视频，有助于非数学专业学生更好地学习高等数学及考研。每周周二四六更新。
|有界数列不一定收敛；举例如下
数列{a(n)}，a(n)=1/n，|a(n)|<=1
{a(n)}有界，且a(n)收敛到0；
数列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1
{b(n)}有界，b(n)为摆动数列，不收敛。
