双曲线的第一定义是：到两个定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。
这个定义可以通过余弦定理来推导。假设有两个定点A和B，以及一条线段AB上的一个点C，使得AC和BC的长度之差为2a（a为常数），则有：
$$|AC|^2-|AB|^2=4a imes(|AC| imescos heta-|AB| imescos(pi- heta))$$
其中$ heta$是$angle CAB$的补角。由于$cos(pi-theta)=-costheta$，所以：
$$|AC|^2-|AB|^2=-4a imes|AC| imescos heta+4a imes|AB| imescos heta$$
即：
$$|AC|^2-|AB|^2=(4a imes|AB| imescos heta)^2-(4a imes|AC| imescos heta)^2$$
展开化简得：
$$(|AC|+|AB|) imes(|AC|-|AB|)=4a imes(|AC|timescos heta+|AB| imescos(pi- heta))$$
因为$|AC|+|AB|>0$，所以：
$$|AC|-|AB|=2a$$<br/>
双曲线有多种定义方式，其中一种常见的定义方式是通过直角三角形的双曲函数定义。推导如下：
考虑一个以原点为顶点的直角三角形，两条直角边分别为 $x$ 和 $y$，斜边长度为 $r$。则有：
$$cosh x=frac{e^x+e^{-x}}{2}, sinh x=frac{e^x-e^{-x}}{2}$$
我们可以将 $x$ 看成是一个实数，那么 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 都是正实数，因此：
$$cosh xgeq 1, sinh xgeq 0$$
又因为：
$$cosh^2 x-sinh^2 x=1$$
所以：
$$cosh^2 xgeq 1, sinh^2 xgeq 0$$
这就是双曲函数的第一定义。它们也可以用指数函数表示：
$$cosh x=frac{e^x+e^{-x}}{2}, sinh x=frac{e^x-e^{-x}}{2}$$
这两个函数在数学和物理中都有广泛的应用。
