双曲线的第一定义是由阿基米德提出的，它描述了双曲线的几何特性。双曲线的第一定义公式及推论如下：
1. **双曲线的定义**：
双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差等于常数（大于零）的点的集合。
2. **双曲线的标准方程**：
当双曲线的焦点在x轴上时，其标准方程为：
[ frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1 ]
其中，( a ) 是实半轴的长度，( b ) 是虚半轴的长度。
3. **双曲线的性质**：
- 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是 ( 2c )，其中 ( c ) 是焦距，满足 ( c^2 = a^2 + b^2 )。
- 准线：双曲线的准线是 ( x = pm frac{a^2}{c} )。
- 离心率：双曲线的离心率 ( e ) 满足 ( e = frac{c}{a} )。
4. **推论**：
- 如果 ( e < 1 )，则双曲线是椭圆。
- 如果 ( e = 1 )，则双曲线是抛物线。
- 如果 ( e > 1 )，则双曲线是双曲线。
这些公式和推论可以帮助我们理解和计算双曲线的各种几何特性，包括焦点、准线、离心率和与椭圆、抛物线的关系。
