双曲线第一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
【例1】设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2：（x-√5)2+y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切．求动圆C的圆心轨迹L的方程；
【分析】（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，
∴|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|＝2，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，b＝1，
双曲线的方程为：x2/4-y2=1(x≥2)；
证明过程是基于到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹进行的。
设两定点为F1(-c,0), F2(c,0)，则根据双曲线的第一定义，到两定点距离之差为2a的点的轨迹为双曲线。
根据双曲线的方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中c^2=a^2+b^2，将其变形得到 b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2，即 (b^2x^2-a^2y^2)/a^2b^2=1。
由此可知，双曲线上的点到两定点距离之差为2a，因此双曲线第一定义得证。
