力学系统受初始扰动后，不再受其他激励而在其平衡位置附近的振动。由于介质阻尼和内耗
都看作是属于振动系统的，因此自由振动也包括有阻尼力的振动。最简单的自由振动就是简谐振动。其次是有阻尼力的单自由度
线性振动（见线性振动）。对于多自由度的自由振动，由于振动过程发生在系统稳定的平衡位置邻近，若取平衡位置为广义坐标的原点，这时系统的动能T和势能V可近似地表为：
式中q为广义坐标；m为质量；k为刚度。作用在系统上还有与阻尼力类似的耗散力。这种力学系统的运动方程为：
，（j=1，2，…，n） （1）
式中F为瑞利耗散函数，；L=T－V为拉格朗日函数。
对于保守系统，F=0，式（1）变成完整保守系统的拉格朗日方程
：
。（j=1，2，…，n）
应用上式于多自由度保守系统的自由线性振动，可得振动方程：
， （2）
式中
它们分别为质量矩阵、刚度矩阵和广义位移矢量。
这种保守系统的振动特色是由各广义位移作简谐振动而形成的。可设主振动为：q=usin（ωt+）， （3）
式中，称为主振型矢量；q和u都可看作列矩阵。将式（3）代入式（2）并约去sin（ωt+），得：
上式称为特征矢方程，而称为特征矩阵
。式（4）有非零解的条件为：
式（5）称为特征方程；从式（5）可解出n个（i=1，2，…，n）。将代入式（4）后，可解得对应于的n个。称固有频率（主频率），或特征值
；称固有振型（主振型）或特征矢量
。当K和M为n阶实对称矩阵
，且M正定
时，存在n个实特征值和相应的n个特征矢量，故式（2）的特解可写为：
式中和是待定常数，由初始条件决定。例如已知t=0时的和，则有：
从而可求出和（i=1，2，…，n）。
