柯西不等式还有很多种方法证，这里只写出两种较常用的证法:
Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
还可以用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
以下是一种柯西不等式的简便证明方法：
设a=m^2+n^2，b=2mp+nq，c=p^2+q^2，构造二次函数y=ax^2+bx+c，将a、b、c用m、n、p、q的关系代入得：
egin{align*} y&=a{x}^{2}+bx+c\ &=m^{2}+n^{2}x^{2}+2mp+nqx+p^{2}+q^{2}\ &=m^{2}x^{2}+2mpx+p^{2}+n^{2}x^{2}+nqx+q^{2}\ &=m^{2}x^{2}+n^{2}x^{2}+(2mpx+nqx)+p^{2}+q^{2}\ &=x^{2}(m^{2}+n^{2})+(px+qx)(2m+n)+p^{2}+q^{2}\ &=x^{2}left(m^{2}+n^{2} ight)+x(2m+n)left(px+qx)+p^{2}+q^{2} ight) end{align*}
由于x^{2}left(m^{2}+n^{2} ight)ge0，x(2m+n)(px+qx)ge0，p^{2}+q^{2}ge0，所以yge0，即：
m^{2}+n^{2}x^{2}+2mp+nqx+p^{2}+q^{2}ge0
将a=m^{2}+n^{2}，b=2mp+nq，c=p^{2}+q^{2}代入柯西不等式a^2+b^2ge2ab，得：
egin{align*} m^{4}+n^{4}+2m^{2}p^{2}+2n^{
