什么时候可以使用积分中值定理（积分中值定理为什么要推广）

积分中值定理通常适用于以下情况：

函数连续：函数必须在积分区间上连续。

区间有限：积分区间必须是有限的（即不可以是负无穷到正无穷）。

区间非空：积分区间必须是非空的（即不能是一个单独的点）。

拓扑结构为实数线：积分区间必须是实数线的一个区间，也就是说，它应该是包含了所有实数的一段线段。

总的来说，如果函数在区间上连续，并且这个区间是有限的、非空的、以实数线为拓扑结构的一段线段，那么积分中值定理就能够使用。

积分中值定理适用于连续且单调函数，或其导数不变号的函数。在区间上通过积分值来确定函数在某点的取值，可用于简化计算。