乘法定理的证明（乘法结合律的题40道）

以下是我的回答，乘法定理的证明涉及到数学中的基本概念和运算规则。

乘法定理表明，对于任何实数a和b，有ab=a×b。这个定理的证明可以通过定义实数的乘法运算得到。根据实数的定义，实数是可以进行加、减、乘、除等运算的量，其中乘法运算定义为将一个数重复加多次。因此，对于任何实数a和b，有ab=a×b，这是乘法定理的证明。

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩

（r(AB)<=min(r(A),r(B))

那么|AB|=|A| |B|=0.

2、A、B均满秩

A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1

B=g1g2…gs*E*ht…h2h1

pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵

|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1| |g1g2…gs*E*ht…h2h1|

=|P1P2…Pn| |E| |qm…q2q1| |g1g2…gs| |E| |ht…h2h1|

=|A| |E| |E| |B|

=|A| |B|

其中只需证明|Ar|=|A| |r|（或|rA|）其中r为初等矩阵

这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。