值域是有限区间的函数,是有界函数。值域是无限区间的函数是无界函数。
例如,正弦函数y=sinx,对任意x∈(-∞,+∞),|sinx|≤1恒成立,所以y=sinx是R上的有界函数。
有的函数在定义域的部分区间上可能是有界的。
例如,一次函数y=2x+1,定义域(-∞,+∞),值域(-∞,+∞).它在定义域(-∞,+∞)上是无界的。但是它在区间(-1,2)上,值域(-1,5),它是有界的。事实上,它在定义域的任意的真子集上都是有界的。
有的函数在定义域的部分区间上可能是无界的。
例如,反比例函数y=1/x,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),值域(-∞,0)∪(0,+∞).它在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是无界的。它在区间(0,1)内,值域(1,+∞),它是无界的. 当然,它在区间(1,+∞)内,值域(0,1),它是有界的。