切比雪夫多项式的所有根的证明（切比雪夫多项式及其证明方法）

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程

切比雪夫多项式

和

切比雪夫多项式

基本性质

对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。